Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalah cabang
ilmu filsafat yang bertujuan untuk merefleksikan, dan menjelaskan hakekat
matematika. Hal ini merupakan kasus khas dari kegunaan epistemologi yang
bertujuan menjelaskan pengetahuan manusia secara umum. Filsafat matematika
mengajukan pertanyaan-pertanyaan seperti: Apa dasar dari pengetahuan
matematika? Apa hakekat kebenaran matematika? Apa yang mencirikan matematika?
Apa pembenaran kebenaran matematika? Mengapa kebenaran matematika dianggap
sebagai kebenaran yang mendasar?
Filsafat matematika pada dasarnya
adalah pemikiran reflektif terhadap matematika. Matematika menjadi ilmu pokok
soal yang dipertimbangkan secara cermat dan penuh perhatian. Pemikiran filsafati
juga bersifat reflektif dalam arti menengok sendiri untuk memahami bekerjannya
budi itu sendiri. Ciri relektif yang denikian itu ditekankan oleh para filsuf
Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan “Philosophy is reflective”. The
philosophizing mind never simply thinks about an object; it always, while
thinking about any object, think also about its own thought about than object.”
(Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata-mata
berpikir tentang suatu obyek, budi itu senantiasa berpikir juga berpikir
tentang pemikirannya sendiri tentang obyek itu). Jadi budi manusia yang
diarahkan untuk menelaah obyek-obyek tertentu sehingga melahirkan matematika
kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga membutuhkan filsafat
matematika agar memperoleh pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika
itu.
Di antara ahli-ahli matematika dan
para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika
itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan dari perumusan-perumusan dari
2 buku matematika dan 2 buku filsafat yang berikut:
1) Suatu filsafat matematika dapatlah
dilukiskan sebagai suatu sudut pandangan yang dari situ pelbagai bagian dan
kepingan matematika dapat disusun dan dipersatuja berdasarkan beberapa asas
dasar.
2) Secara khusus suatu filsafat
matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang
dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau balau yang terhimpun
selama berabad-abad diberi suatu makna atau ketertiban tertentu.
3) Penelaah tentang konsep-konsep
dari pembenaran terhadap asas-asas yang dipergunakan dalam matematika
4) Penelaah tentang konsep-konsep
dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran
terhadap pernyataan-pernyataan berikut.
Dua pendapat yang pertama dari ahli –
ahli matematika menitik beratkan filsafat matematika, sebagai usaha menyusun
dan menertibkan bagian – bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini
terus berkembang biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat
merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam
matematika dan pembenaran terhadap asas atau pembenaran matematika.
Menurut pendapat filsuf Belanda Evert
Beth di sampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan
adanya 2 bidang pemikiran lainya, yakni filsafat matematika dalam arti yang
lebih luas (philosophy of mathematics in a broader sense) dan penelitian
mengenai landasan matematika (foundation mathematics). Landasan matematika
kadang-kadang disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi
sesungguhnya landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang palling
sempit dari bidang filsafat matematika. Foundation of mathematics khususnya
bersangkut paut dengan konsep-konsep asas foundamental (fundamental concepts
and principles) yang mempergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua
definisi philosophy of mathematics dari kamus-kamus filsafat tersebut diatas
lebih merupakan batasan pengertian matematika. Charles Parsons dalam The
Encyclopedia of Philosophy menegaskan:
Penelitian landasan senantiasa
bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan
dan asas-asas matematika, dengan pemahaman mengapa proporsisi-proporsisi
tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran
terhadap asas-asas yang telah diterima tampaknya tidak sendirinya begitu
jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas-asas yang tak terbebankan.)
Peran filsafat matematika adalah
untuk menunjukkan dasar yang sistematis dan benar-benar aman untuk pengetahuan
matematika, diperuntukkan untuk kebenaran matematika.
Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi dari filsafat
matematika adalah untuk menunjukkan dasar pengetahuan matematika. Foundationism
terikat dengan pandangan absolutis pengetahuan matematika, karena menganggap
tugas pembenaran pandangan ini menjadi tujuan utama filsafat matematika.
Hakikat Pengetahuan Matematika
Secara tradisional, matematika telah
dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan sebuah
struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun lalu dalam Elements, yang sampai
akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk mendirikan
kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen di dalam bukunya
Principia, dan Spinoza dalam Etika, untuk memperkuat klaim mereka atas
penjelasan kebenaran sistematis. Dengan demikian matematika telah lama diambil
sebagai sumber pengetahuan yang paling tertentu yang dikenal bagi umat manusia.
Sebelum menyelidiki sifat pengetahuan
matematika, pertama-tama perlu untuk mempertimbangkan sifat pengetahuan pada
umumnya. Jadi kita mulai dengan bertanya, apakah pengetahuan? Pertanyaan
tentang apa yang merupakan pengetahuan inti dari filsafat, dan pengetahuan
matematika memainkan suatu peranan penting. Jawaban filsafat standar untuk
pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih
tepatnya, bahwa pengetahuan awalnya terdiri dari dalil yang dapat diterima
(yaitu, percaya), asalkan ada alasan yang memadai untuk menegaskannya.
(Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut.
Pengetahuan apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan
pemikiran sendiri, tanpa jalan lain untuk pengamatan dunia. Berikut
alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan
dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari
dalil menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia
(Woozley, 1949).
Bukti dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir
pada dalil, yang memenuhi sifat berikut. Setiap pernyataan merupakan aksioma
diambil dari seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan
kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam
urutan. Istilah 'sekumpulan aksioma' dipahami secara luas, untuk memasukkan apa
pun pernyataan diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma,
dalil-dalil dan definisi.
Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika
Pandangan absolutis pengetahuan
matematika adalah bahwa hal itu terdiri dari kebenaran tertentu dan tak
tertandingi. Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari
kebenaran absolut, dan mewakili ranah pengetahuan tertentu yang unik, terpisah
dari logika dan pernyataan benar berdasarkan arti istilah, seperti 'Semua
bujangan belum menikah'. Banyak filsuf, baik modern dan tradisional, memiliki
pandangan absolutis pengetahuan matematika. Jadi menurut Hempel:
validitas matematika berasal dari
ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwa
proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurutdefinisi'.
Dalam pemikiran absolut, dinyatakan bahwa Mathematics is the one and perhaps
the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge yang
maksudnya adalah Matematika adalah suatu kemungkinan dan kenyataan yang tak
terbantahkan dan merupakan ilmu pengetahuan yang objektif. Sedangkan secara
fallibilis, Mathematica truth is corrigible, and can never regarded as being
above revision and correction, yang maksudnya adalah kebenaran Matematika
dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi.
Sehingga The Liang Gie dalam bukunya yang berjudul Filsafat Matematika
menyatakan bahwa Filsafat Matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan
mempersatukan berbagai bagian dan kepingan Matematika berdasarkan
beberapa asas dasar.
Metode deduktif memberikan surat perintah untuk penegasan matematika pengetahuan.
Dasar-dasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) menyediakan mutlak
pengetahuan tertentu, yang adalah kebenaran, karena itu sebagai berikut.
Pertama-tama, dasar laporan digunakan dalam bukti yang dianggap benar. Aksioma
matematika dianggap benar, untuk tujuan mengembangkan sistem yang sedang
dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat, dan aksioma
logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika ofinference melestarikan
kebenaran, adalah mereka memungkinkan apa-apa selain kebenaran yang disimpulkan
dari kebenaran. Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam bukti deduktif,
termasuk kesimpulannya, adalah benar. Jadi, karena teorema matematika semua
dibentuk dengan cara bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini
merupakan dasar dari klaim banyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran
tertentu.
Pandangan absolutis pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi:
orang matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi, dan orang-orang logika
tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks. Ini
adalah lokal atau microassumptions. Ada juga kemungkinan asumsi makro-global
atau, seperti aswhether cukup deduksi logis untuk membuat semua kebenaran
matematika. Saya kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing asumsi melemahkan
klaim kepastian untuk pengetahuan matematika. Pandangan absolutis pengetahuan
matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah
antinomi dan kontradiksi berasal dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963;
Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) yang
didirikan oleh jauh formulasi paling ketat logika matematika yang dikenal pada
waktu itu, sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Russell (1902),
bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem Frege tidak konsisten. Masalahnya
terletak pada Hukum Kelima Dasar Frege, yang memungkinkan menetapkan yang akan
dibuat dari perpanjangan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang
akan diterapkan untuk mengatur (Furth, 1964). Russell diproduksi terkenal
paradoks nya dengan mendefinisikan properti dari 'tidak unsur itu sendiri.
Hukum Frege memungkinkan perpanjangan properti ini dianggap sebagai satu set.
Tapi kemudian set ini adalah elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika,
tidak, kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahkan
sistem nya, namun itu tidak bisa dipertahankan.
Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan tersebut,
tentu saja, implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika.
Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema yang yakin, bagaimana bisa
kontradiksi (yaitu, dusta) berada di antara teorema nya? Karena tidak ada
kesalahan tentang penampilan kontradiksi-kontradiksi ini, pasti ada yang salah
dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah
sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat
pengetahuan dan matematika untuk membangun kembali kepastian.
Aliran matematika
Ada tiga aliran yang digunakan
sebagai acuan berpikir, yaitu: logicism, formalisme dan Intuisionisme. Aliran
pemikiran ini tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi
Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali
setidaknya sejauh Leibniz dan Kant.
A. Logisme
Logisme memandang bahwa Matematika
sebagai bagian dari logika. Pernyataan ini dikemukakan oleh G. Leibniz. Dua
pernyataan penting yang dikemukakan di dalam aliran ini, yaitu:
a. Semua konsep
matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika
b. Semua kebenaran
matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan
kesimpulan secara logika semata.
Tujuan dari tuntutan ini jelas. Jika
semua matematika dapat diekspresikan dalam teorema logika murni dan dibuktikan
dari prinsip-prinsip logika sendiri, kemudian kepastian dari ilmu matematika
dapat dikurangi untuk dan dari logika itu. Logika disadari untuk menyediakan
sebuah dasar yang pasti atas kebenaran, sebagian dari ambisi yang berlebihan
mencoba untuk menyampaikan logika, seperti hukum Frege yang kelima. Dengan
demikian jika membantu, program logika akan menyediakan dasar logika yang pasti
untuk pengetahuan matematika, melahirkan kembali kepastian yang mutlak dalam
matematika
Whitehead dan Russel (1910-13) mampu
membangun yang pertama dari dua tuntutan melalui arti dari defenisi berantai.
Bagaimanapun logika dibangun pada tuntutan yang kedua. Matematika meminta
aksioma non logika seperti aksioma tidak terbatas (himpunan semua bilangan asli
adalah tidak terbatas). Dan aksioma pilihan(hasil cartesian dari himpunan
kosong adalah himpunan kosong itu sendiri). Russel mengekspresikannya pada
dirinya sendiri sebagai pengikut.
Tetapi walaupun semua dalil logika (atau matematika) dapat diekspresikan
seluruhnya dalam teorema dari logika konstanta bersama dengan variable, itu
bukanlah masalah bahwa, sebaliknya, semua dalil itu dapat diekspresikan dalam
cara logika ini. kita telah menemukan sejauh kepentingan tetapi bukan sebuah
standar yang perlu dari dalil matematika. Kita perlu menentukan karakter dari
ide kuno dalam teorema yang mana semua ide dalam matematika dapat ditentukan.
Tetapi bukanlah dalil kuno dari semua dalil dalam matematika dapat dibuktikan
secara deduktif. Ini adalah sebuah masalah yang lebih sulit, yang mana belum
diketahui apa jawaban seutuhnya.
Keberatan yang kedua, yang terlepas
dari validitas dari dua tuntutan logicit, yang merupakan alasan utama untuk
menolak formalisme. Ini adalah teorema ketidaklengkapan Godel, yang menetapkan
bahwa pembuktian deduktif cukup untuk menunjukkan semua kebeanaran matematika.
Oleh karena itu pengurangan kesuksesan dari aksioma matematika untuk logika
masih tidak akan cukup untuk derivasi dari semua kebenaran matematika.
Keberatan yang ketiga yang mungkin menyangkut
kepastian dan keandalan yang mendasari logika. Hal ini tergantung pada
keterujian dan pendapat, asumsi yang dibenarkan.
Dengan demikian program logika mengurangi kepastian pengetahuan matematika
untuk itu logika gagal dalam prinsip. Logika tidak menyediakan dasar yang pasti
untuk pengetahuan matematika.
B. Formalisme
Dalam istilah populer, formalisme
merupakan pandangan bahwa sebuah permainan formal yang tidak berarti yang
dimainkan dengan tanda-tanda diatas kertas, mengikuti aturan-aturan.
Jejak filsafat dari formalis
matematika dapat ditemukan dalam tulisan – tulisan Uskup Berkeley, tetapi
pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awalnya J. Von Neumann
(1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk
menerjemahkan matematika kedalam sistem tafsiran formal. Dengan arti yang
terbatas tetapi bermakna sistem formal metamatematika terbukti memadai
untuk matematika, dengan menurunkan keformalan dari semua kebenaran matematika,
dan aman untuk matematika melalui bukti yang konsisten.
Menurut Ernest (1991) formalis
memiliki dua tesis, yaitu
1. Matematika dapat dinyatakan
sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sembarangan, kebenaran
matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.
2. Keamanan dari sistem formal ini dapat
didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel
(Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak bisa dipenuhi. Teorema yang
pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan
dari aksioma Peano ( atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas).
Hasil pembuktian-teori ini sejak itu
sudah dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang merupakan
teorema versi Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika Peano
(Barwise, 1977). Ketidaklengkapan teorema yang kedua menunjukkan bahwa dalam
kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat
daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga samasekali.
Misalnya, untuk membuktikan konsistensi aritmatika Peano mengharuskan semua
aksioma sistem itu dan selanjutnya asumsi, seperti sistem induksi transfinite
atas nomor urutan hitung (Gentzen, 1936)
Program formalis, seandainya
berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut
matematika. Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika
formalakan memberikan ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat
bahwa dalam kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak semua
kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal,
dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.
C.Intuisionisme
Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer
(1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia.
Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada
apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis
menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya
terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada.
Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas,
oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar
itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar
untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara
mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan
metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang
eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui
diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif
semata (Ernest, 1991). Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme,
antara lain; (1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek
matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2)
matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum
logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya
memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab
keberata tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia
untuk mencoba membayangkansuatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki
sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki
sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar